Nonlinear Analysis of Composite Plates using Continuum Finite Element

Abstract

In this paper the geometrically nonlinear plate finite element model, hitherto not reported in the literature, is developed using the total Lagrange formulation. With the layer wise displacement field of Reddy [1], nonlinear Green-Lagrange small strain large displacements relations (in the von Karman sense) and linear elastic orthotropic material properties for each lamina, the 3D elasticity equations are reduced to 2D problem and the nonlinear equilibrium integral form is obtained. By performing the linearization on nonlinear integral form and then the discretization on linearized integral form, tangent stiffness matrix is obtained with less manipulation and in more consistent form, compared to the one obtained using laminated element approach from literature [8]. Symmetric tangent stiffness matrixes, together with internal force vector are then utilized in Newton Raphson’s method for the numerical solution of nonlinear incremental finite element equilibrium equations. The originally coded MATLAB computer program for the finite element solution is used to verify the accuracy of the numerical model, by calculating nonlinear response of plates with different mechanical properties, which are isotropic, orthotropic and anisotropic (cross ply and angle ply), different plate thickness, different boundary conditions and different load direction (unloading/loading). The obtained results are compared with available results from the literature and the linear solutions from the author’s previous papers.

У раду је по први пут у литературу формулисан геометријски нелинеаран коначни елемент плоче заснован на тоталној Lagrange-овој формулацији. Користећи слојевиту теорију плоча Reddy-a [1], нелинеарне Green-Lagrange-ове везе деформација и померања (у von Karman-овом смислу) и линеарнo еластичне ортотропне карактеристике за сваки слој, 3Д једначине еластичности су редуковане на 2Д проблем и добијена је нелинеарна интегрална форма. Пошто је спроведена линеаризација на нелинеарној интегралној форми, а потом и дискретизација, добијена је тангентна матрица крутости коначног елемента и то са мање математичких операција, у поређењу са оном добијеном у случају ламинатног коначног елемента из литературе [8]. Симетрична тангентна матрица крутости, заједно са вектором унутрашњих чворних сила, примењени су у Newton Raphson-овој методи за решавање нелинеарних инкременталних једначина равнотеже. За решење по МКЕ написан је оригинални програм у MATLAB програмском језику. Програмом су анализиране плоче различитих механичких карактеристика, односно изотропне, ортотропне и ламинатне (cross ply и angle ply), различитих дебљина, различитих граничних услова и различитих режима оптерећења/растерећења. Добијена решења су упоређена са решењима из литературе и изведени су закључци.