O metodologiji dvostrukog osrednjavanja - pregled istorijskog razvoja i teorijske osnove

Abstract

U radu se prikazuje metodologija koja je nastala kao rezultat potrebe da se matematički rigorozno opišu poja-ve i procesi kod prostorno heterogenog strujanja, tj. strujanja u sredinama koje ispunjavaju i tečna i čvrsta faza ili strujanja neposredno iznad elemanata rapavosti bilo da je reč o krupnom nanosu, životinjskim orga-nizmima na dnu ili vodenoj vegetaciji. Reč je o meto-dologiji dvostrukog osrednjavanja u kojoj se Navije-Stoksove jednačine sukcesivno osrednjavaju po vremenu i prostoru. Kroz istorijski pregled pokazuje se kako se došlo do ideje kombinovanja vremenskog osrednjavanja karakterističnog za turbulentne tokove i prostornog osrednjavanja, karakterističnog za tečenje kroz poroznu sredinu, a potom i do ideje da se metodologija primeni u hidraulici otvorenih tokova za modeliranje tečenja u koritima sa krupnim nanosom (šljunkom, oblucima i gromadama), koritima i kanalima sa potopljenom i nepotopljenom vegetacijom ili preko plavnih površina. Daju se definicije fiktivne i sopstvene prostorno (zapreminski) osrednjene veličine, prikazuju pravila dvostrukog osrednjavanja i pokazuje kako se ona primenjuju da bi se dobile jednačine koje opisuju tečenje preko nepokretnog rapavog dna. Na primeru dvostrukog osrednjavanja količine kretanja iz [23] pokazuje se da redosled osrednjavanja – vremensko pa prostorno, ili prostorno pa vremensko ne utiče na ko-načni oblik dvostruko osrednjenih Navije-Stoksovih jednačina. Takođe se pokazuje da se matematički rigo-roznim postupkom dvostrukog osrednjavanja dobijaju jednačine u kojima figurišu sve relevantne sile / naponi koji se u samo vremenski osrednjene, Rejnoldsove je-dnačine dodaju ad hoc u zavisnosti od problema koji se rešava. Primeri su sila otpora oblika koju stvaraju ele-menti rapavosti i sila trenja po površini tih elemenata, kao i napon koji je posledica prostorne nerav-nomernosti rasporeda brzina izazvane prisustvom elemenata rapavosti – tzv. napon usled prisustva elemenata rapavosti. Primena metodologije dvostrukog osrednjavanja prikazuje se na primeru tečenja preko rapavog, poroznog dna sastavljenog od pet slojeva pravino poređanih kuglica. Prikazuju se rasporedi brzine u pravcu glavnog toka između kuglica po dubini poroznog dna i u slobodnom toku iznad rapavog dna, u vertikalnoj ravni paralelnoj sa glavnim tokom i rasporedi po dubini toka ove komponente dvostruko osrednjene brzine, dvostruko osrednjenog Rejnoldsovog napona iz vertikalne ravni i dvostruko osrednjene kinetičke energije turbulencije, koji na prelazu iz poroznog dna u slobodan tok imaju velike gradijente.

A methodology that was developed to provide rigorous mathematical description of spatially heterogeneous flows (multiphase flows, ground water flows or flows over rough beds) and related processes is presented in this paper. This is the double averaging methodology (DAM) in which Navier-Stokes equations are successively averaged in time and space. The DAM emergence and the development are traced back through the historical review. The review reveals the origins of the idea to combine time-averaging of turbulent flows and space-averaging of ground water or multiphase flows and to apply it to rough-bed open channel flows (gravel- bed rivers, vegetated and environmental flows). The review is followed by the DAM basics – definitions of superficial and intrinsic averages, spatial-averaging rules and averaging theorems and procedures, all necessary for the derivation of double-averaged Navier-Stokes (DANS) equations. The fact that the final form of DANS is independent of the averaging sequence (time-space or space-time) is illustrated on the example of nonviscous components of the total fluid stress as discussed in [23]. It is also accentuated that rigorously derived DANS contain all relevant forces that are added to the Reynolds-averaged Navier-Stokes equations on the ad hoc basis, depending on the problem under consideration. Typical examples are drag and shear forces caused by roughness elements and form-induced stress. The application of DAM to rough-bed flows is presented on the example of flow over permeable bed composed of five layers of spheres packed in the cubic arrangemet. Streamwise velocity distributions in the streamwise oriented vertical plane is given to show velocity gradients near the top of spheres at the transition to the free flow layer. Results are presented for the profiles of double-averaged streamwise velocity, spatially-averaged shear Reynolds stress and spatially-averaged TKE, that both exhibit large gradients near the bed.