Modeliranje naglo promenljivih otvorenih tokova

Abstract

Osnovna karakteristika naglo promenljivih otvorenih tokova je postojanje velikih gradijenata dubine i protoka. Ove nagle lokalne promene osnovnih veličina toka nastaju kao posledica specifičnih graničnih uslova (spoljašnjih i/ili unutrašnjih). U zoni velikih gradijenata narušene su osnovne pretpostavke na kojima je baziran klasičan matematički model neustaljenog tečenja sa slobodnom površinom. Kao posledica narušavanja tih pretpostavki, pri matematičkom i numeričkom modeliranju razmatranih tokova javljaju se odre|ene teškoće i problemi. U monografiji se ove teškoće i problemi detaljno analiziraju i predlaže jedno od mogućih rešenja za njihovo prevazilaženje.

U teorijskom delu se, najpre, daje pregled do sada primenjivanih metoda matematičkog modeliranja naglo promenljivih tokova. Opisana su tri pristupa: tzv “shock-fitting” pristup, direktni pristup i metoda pseudoviskoznosti. Potom je dat pregled metoda koje se koriste za numeričko modeliranje izučavanih tokova. To su: Metoda karakteristika, metoda Godunova, Metode konačnih razlika zasnovane na postupku razdvajanja fluksova i Metoda konačnih elemanata. Posebna pažnja je posvećena direktnom pristupu i eksplicitnoj računskoj shemi iz grupe Metoda konačnih razlika koje daju slaba rešenja – računskoj shemi MacCormack.

Algoritam rešavanja modelskih jednačina zasnovan na ovoj računskoj shemi proveren je poređenjem rezultata računskog modela sa: 1 – odgovarajućim analitičkim rešenjem (za pojednostavljene slučajeve), 2 – rezultatima merenja autora na fizičkom modelu i 3 – dostupnim rezultatima drugih istraživača. Pošto kvalitet dobijenih rezultata u slučaju modeliranja naglo promenljivih tokova zavisi od: 1 – izbora oblika u kojem su napisane jednačine matematičkog modela, 2 – toga da li primenjena računska shema poseduje svojstvo konzervativnosti ili ne i 3 – toga da li računska shema pripada grupi tzv. disipativnih ili nedisipativnih shema,

prilikom provere modela posebna pažnja je posvećena analizi svojstva konzervativnosti MacCormack-ove računske sheme i analizi problema oscilatornih rešenja.

Na kraju je, na primeru jednog prirodnog vodotoka, razmotrena mogućnost primene modela u rešavanju problema iz hidrotehničke prakse.

Discontinuous flows are the flows in which large gradients arise in both the flow depth and the discharge due to specific external and/or internal boundary conditions. With reference to the discontinuity and through the discontinuity itself, the basic hypotheses, upon which the Saint-Venant shallow water equations are based, are violated. The problems in mathematical and numerical modelling of discontinuous flows arising from this violation, and the specific structure of the appropriate numerical schemes used in solving such problems are discussed in this Thesis. Three approaches to mathematical modelling of discontinuous flows: shock-fitting, through method and pseudoviscosity method, are presented first. They are followed by a review of numerical methods used in numerical modelling of free-surface flows with discontinuities: the Method of characteristics, the Godunov method, the Finite Difference Methods based on the flux-splitting technique, and the Finite Element Method. Close attention is paid to the approach and the scheme that allows for weak solutions, i.e. to the through method and the Finite Difference Method based on the explicit MacCormack scheme. The proposed scheme is verified using: 1- the analytical solutions, 2- the author's measurement performed on a laboratory rig and 3- the available measurements of the other authors. Since the quality of the computational results highly depends on: 1- the form under which the governing equations are written (conservation or non-conservation form), 2- the conservative property of the numerical scheme used, and 3- the diffusive/dispersive character of the scheme, great attention is paid to the analysis of the conservation property of the MacCormack scheme and the problems regarding the quasi-physical effects of the scheme, such as spurious oscillations in the vicinity of the discontinuity. Finally, a case study is included to indicate the performance of the proposed model in the engineering practice.