Modeliranje stohastičke strukture karakteristika velikih voda dobijenih iz serija pikova iznad praga

Abstract

Na formiranje velikih voda utiču mnogobrojni i međusobno uslovljeni ćinioci, pa se one najčešće opisuju u domenu verovatnoće pojave. Merodavne velike vode, izražene kroz protoke, zapremine, trajanja talasa i slično, uobičajeno se dobijaju analizom verovatnoće pojave na godišnjem nivou, pretežno metodom godišnjih ekstrema. Međutim, unutar godine su moguće pojave većeg broja značajnih poplavnih talasa koji se koriste u analizi verovatnoće metodom pikova iznad praga. Karakteristike velikih voda dobijaju se iz nizova dnevnih protoka. U disertaciji se pored osnovnih nizova karakteristika uvode u razmatranje i agregacije od dve ili više uzastopnih vrednosti. To su veličine slučajnog karaktera i mogu se obuhvatiti zbirnim nazivom karakteristike strukture velikih voda.

Predmet istraživanja u disertaciji su informacije o strukturi pojave velikih voda koje se mogu izvesti iz nizova dnevnih protoka uvodenjem različitih karakteristika velikih voda kao slučajnih veličina i analizom njihove verovatnoće pojave. Hipoteza disertacije je da se upotrebom parcijalnih serija tj. pikova iznad praga, kroz koncept slučajnih procesa, analiziraju elementi procesa velikih voda, odnosno njihove strukture i da sve ekstremne vrednosti (vrhovi poplavnih talasa, zapremine talasa velikih voda) nose informaciju o pojavi velikih voda.

Cilj istraživanja je da se na velike vode primeni metodologija analize pomoću prekidnih slučajnih procesa proširenjem postupaka iz metode pikova. Na karakteristikama velikih voda definišu se dogadaji koji se mogu opisati slučajnim procesima. Zadatak je da se verovatnoće dogadaja opišu funkcijama raspodele i ostvari detaljniji uvid u strukturu velikih voda primenom prekidnih slučajnih procesa.

Primena postavljenih hipoteza i predloženih metoda i postupaka analize stohastičke strukture velikih voda prikazana je na podacima o srednjim dnevnim protocima na hidrometrijskoj stanici Bezdan na reci Dunav, za period od 1931. do 2009. godine.

Disertacija je organizovana u četiri celine. Prvu čini Uvod, gde je opisan značaj proučavanja velikih voda, postavljeni ciljevi disertacije i dat prikaz pristupa i metoda stohastičke analize velikih voda. Druga celina se bavi teorijskim osnovama za predloženu metodologiju stohastičkog modeliranja karakteristika velikih voda. Nju čine tri glave – od druge do četvrte. Maksimalna godišnja zapremina talasa velikih voda, trajanje talasa i trajanje ciklusa kao slučajni procesi razmatraju se u glavi 2. Metoda pikova iznad praga za analizu maksimalnih godišnjih protoka prikazana je u glavi 3, a karakteristike velikih voda koje se mogu definisati na serijama pikova iznad praga u glavi 4. Treću celinu predstavlja test primer modeliranja stohastičke strukture velikih voda prikazan u glavi 5. Poslednja, četvrta celina, je šesta glava sa zaključcima.

U poglavljima o teorijskim osnovama prvo je predstavljen pregled poznatih koncepata za stohastičku analizu. Predstavljene su metode analize i njihova tipizacija. Ukazano je na pretpostavke koje dovode do metoda koje se predlažu u disertaciji. Dat je osvrt i na standardnu proceduru statističke analize velikih voda. Kroz raspravu o maksimalnoj godišnjoj zapremini talasa velike vode koji prekoračuje izabrani prag protoka, postavljene su osnovne stohastičke relacije. Koncepcija analize je da se pri stohastičkoj analizi slučajne veličine, u opštem slučaju bilo koje karakteristike velikih voda, proučavaju: a) broj dogadaja u intervalu vremena, b) trajanje ciklusa izmedu dva, tri ili više uzastopnih dogadaja, c) broj dogadaja u intervalima vrednosti karakteristike, d) vrednosti karakteristika pri jednom, dva ili više uzastopnih dogadaja, e) maksimalne vrednosti karakteristike u vremenskom intervalu. Osnovu teorije predstavljaju postulati o broju prekida (promeni stanja procesa) po vremenu i po zapremini talasa (stavke a) i c)). Iz ovih postulata sledi da njima odgovarajući sistemi diferencijalnih jednačina imaju rešenje koje eksplicitno zavisi od funkcija intenziteta javljanja. Da bi se sistem jednačina rečio, uzimajući u obzir opravdane pretpostavke, usvojeni su oblici funkcija intenziteta koji vode ka binomnom, Puasonovom ili negativnom binomnom zakonu verovatnoće broja dogadaja odnosno prekida u procesu. Ovi oblici su dokazani u dosadašnjoj primeni metode pikova iznad praga. Neprekidne raspodele dužina vremenskog perioda izmedu dva ili više uzastopnih dogadaja i vrednosti karakteristika pri jednom ili više uzastopnih dogadaja (stavkeb) i d)) modelirane su prema eksponencijalnoj, Vejbulovoj ili Pareto raspodeli. U disertaciji se razmatra i rekurentni model koji modelira raspodele agregiranih – udruženih karakteristika preko funkcije intenziteta osnovnog niza, sa oblikom koji odgovara Vejbulovoj raspodeli osnovnog niza karakteristike, i diskretne raspodele broja javljanja. Zatim se, u posebnom poglavlju, daje prikaz klasične metode pikova iznad praga, koja je poseban slučaj prethodno pomenute metodologije, jer koristi u zaključivanju samo deo prethodno iznesenih teorijskih postavki. Radi računarskog formalizovanja postupaka analize podataka, u posebnom poglavlju su dati principi i šeme za tretiranje nizova srednjih dnevnih protoka kao bi se na njima formirali nizovi karakteristika velikih voda po principu prekoračenja izabranog praga. Obuhvaćena je metodologija formiranja kako osnovnih nizova, tako i njihovih agregacija.

Metodologija za modeliranje stohastičke strukture velikih voda dobijenih iz serija pikova iznad praga prikazana je na podacima o srednjim dnevnim protocima na reci Dunav za hidrometrijsku stanicu Bezdan. Podaci su iz 79 godina, od 1931. do 2009. godine. Karakteristike velikih voda koje su razmatrane su zapremine talasa velikih voda iznad praga, trajanja prekoračenja, trajanja ciklusa i pikovi protoka.

Za raspodele izabranih karakteristika velikih voda, ustanovljeno je da od teorijskih neprekidnih raspodela za veličine prekoračenja, zadovoljavajuće slaganje u većini slučajeva (za većinu baznih protoka) ima Vejbulova raspodela. Prilagodenjem osnovnog niza karakteristike Vejbulovom raspodelom može se posredno doći do modela za funkciju intenziteta broja javljanja, odnosno do njenog integrala. Diskretne raspodele za broj javljanja su drugačije za razne veličine, te mogu biti bilo koje od tri navedene (binomna, Puasonova ili negativna binomna). Predloženi rekurentni modeli raspodela karakteristika i njihovih agregacija, počivaju na postulatima Markova za prekide u vremenu i po vrednosti karakteristike, kao i na nezavisnoti te dve vrste prekida. Modeli se zasnivaju na funkciji intenziteta broja javljanja osnovnog niza, sa oblikom koji odgovara Vejbulovoj raspodeli osnovnog niza karakteristike, i vrednosti parametra karakteristici odgovarajuće diskretne raspodele broja javljanja. Ono što je opšti zaključak je da iako predloženi rekurentni modeli za raspodelu karakteristike formalno imaju opravdanje, proračun jednog od parametara iz raspodele broja javljanja (za koji se prepostavlja da je konstantan, a pokazano je da iz realnih nizova nije) često ne daje dobro slaganje empirijskih i teorijskih raspodela. Zato je predložen postupak kojim se vrši prilagodenje drugom metodom, koja unosi dodatnu složenost u proračune, ali poboljšava slaganje osmotrenih podataka i modela. Kao završetak testiranja daje se prikaz rezulatata analize maksimalnih vrednosti karakteristike na godišnjem nivou (što odgovara dogadaju e)).

There are number of factors that influence flood occurrence. Many of them are interdependent. Because of their random nature, floods are usually analysed using stochastic models. The most widespread approach in estimating a design-flood is based on the annual maximum series (AMS) of flood discharges. The design-flood is usually defined in terms of a peak-discharge-value, but it may also be defined in terms of its volume or its duration. Another approach is the peak-over-threshold method (POT). As there might be a number of flood occurrences within a year, only those ones whose peaks exceed a given threshold level are used to define flood characteristics in the POT. These floods form a partial duration series.

Datasets of flood characteristics are derived from the daily mean flow data. In addition to the basic (raw) datasets of the considered flood characteristic (a peak discharge, a flood duration, a flood volume, a number of flood occurrences within a specified interval, a time duration between the two floods, etc.), datasets derived through aggregation of two or more consecutive members of the basic series are also considered in this dissertation. Members of the derived datasets are also random variables. Together with the corresponding raw data they are termed flood structure characteristics.

The dissertation, thus deals with the information about the flood structure that might be deduced from the daily mean flow data through the introduction of flood characteristics and the analysis of their probability distributions using different stoc hastic models.

The main hypothesis is that all relevant information about the floods and their structure are inherent in the values of the flood characteristics that exceed given threshold, i.e. in the partial duration series of flood characteristics. The dissertation aims at applying the theory of intermittent stochastic processes on the series of flood structure characteristics with procedures extended from the peak-over-threshold methods. To do this, probabilities of chosen events should be described with appropriate distribution functions. The data used to check the validity of the posed hypothesis and the applied methodology are obtained from the mean daily series for the Bezdan gauging station on the Danube River in Serbia. These data refer to the 79-years long period, i.e. to the period 1931-2009.

The dissertation has four parts that are organised in six chapters. The first part is Chapter 1 Introduction. In this part, the importance of the flood analysis is outlined, aims and objectives of the study are set forth and the stochastic appro- ach to the problem of the flood analysis is presented along with the description of available stochastic models. In the second part, which contains the following three chapters, theoretical bases of the proposed methodology for the description and prediction of the flood behaviour are given. The annual maximal volume of the flood, the flood duration and the flood cycle duration are defined as stochastic processes in Chapter 2. The peak-over-threshold method in the analysis of the flood peak discharges is described in Chapter 3, while Chapter 4 presents how the other flood characteristics are defined and derived from the partial duration series of the flood peak discharges. The proposed methodology for modelling stochastic structure of flood characteristics, derived from the peak-over-threshold series, is tested against the 79-years record of mean flow data from the gauging station Bezdan on the Danube River in the third part of the dissertation (Chapter 5). The most important conclusions from this study are summarised in the forth part (Chapter 6).

An overview of the known concepts of stochastic modelling is given in the theoretical part of the dissertation. The types of methods are systematised and assumptions that lead to methods proposed in the dissertation are drawn. The standard procedure for statistical analysis of floods is also discussed. The basic stochastic relations are introduced through the discussion of the annual maximum volumes of floods that exceed the selected threshold for the discharge. The proposed methodological approach to the stochastic modelling of any flood characteristic includes the following analyses the analysis of: a) a number of occurrences in a time interval, b) a cycle duration or a time between two, three or more consecutive events, c) a number of occurrences in an interval measured in the units of the characteristic variable, d) the value of the flood characteristic in a single event or its cumulative value in two, three or more consecutive events, e) the maximum flood characteristic value in a time interval.

A number of interruptions over time and by the flood volume are the postulates of the proposed theory. These postulates imply that the result of the corresponding system of the two differential equations depends on the shape of functions of the occurrence. To solve the system of equations according to all relevant assumptions for the given variable, only those shapes of the intensity function that lead to the binomial, Poisson and negative binomial probability distributions for the number of occurrences or interruptions are considered. The use of these shapes was already proven in the applications of the peak-over-threshold method.

Continuous distribution functions of the time periods between two or more con- secutive events and cumulative values of the flood characteristics in two or more consecutive events (items b) and d)) are modelled by exponential, Weibull or Pareto distributions. A recurrence model for the distributions of the aggregated flood characteristics is also considered in the dissertation. The model consists of the discrete distribution for the number of occurrences and the type of the intensity function that corresponds to the Weibull distribution for the base data-series from which the flood characteristic is derived.

Consequently, it is shown in a separate chapter, that the traditional peak-overthreshold method is simply a special case of the proposed methodology, i.e. that it is based only on the selected assumptions.

For the sake of easier handling of large amounts of data, the basic principles and schemes of the computer procedures that are used for derivation of the partial duration series of the flood characteristics and their aggregates are presented in a separate chapter.

The methodology for modelling of stochastic structure of flood characteristics derived from peak-over-threshold series was tested against mean daily flow data from the Bezdan gauging station on the Danube River in Serbia. The data refer to the 79-years long record, i.e. from the period 1931-2009. The analysed flood characteristics are: excess flood volumes and excess flood discharges along with the associated event and cycle durations.

For the majority of chosen threshold values the Weibull distribution function provides the best fitting with the exceed values of the chosen flood characteristic. The fitting of the starting partial duration series to the Weibull distribution allows one to define, indirectly, the intensity function of the process and its integral.

The proposed recurrence models for distributions of flood characteristics andtheir aggregates rest on the Markov theory both for the time and characteristic value intermissions, as well as on the assumption that the two types of intermittence are independent. The models are based on the occurrence intensity function with the shape corresponding to the Weibull distribution for the starting partial duration series and the parameter of the discrete distribution for the number of occurrences of the considered flood characteristic. The overall conclusion is that there is formal justification for the application of the proposed recurrence model. However, the parameter of the discrete distribution sometimes does not lead to satisfactory fitted results (theoretically, parameter is supposed to be constant, but data records show that it is variable). Due to this conclusion, a modification of the method for parameter determination is introduced to achieve a better fit. However, the modification makes the calculations more complicated than expected.

The testing ends with the analysis of annual maximum values (the item e)) of the chosen flood characteristics.